この前、円周率のことを書きました。
どういう記事かと言いますと…
円周率は3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288…と永遠に続くから、計算の際にはどこかで区切らないといけません。
円周率の正確な数字はわからないので、円周などの円周率を使って計算する値の本当に正しい数字はわからないけれど、円周率の小数点以下の桁数をどんどん広げていけば、正確な数字に少しずつ近づくはずです。しかもその数字は本当の数字を追い抜くことはありません。で、許される範囲の誤差は円周率の桁数をどこまで広げるかということで、ＮＡＳＡは小数点以下15桁で計算しているよ、という話でした。
で、今回。前回の記事を書いても、いまいちよくわかっていない気がしました。そもそも誤差って何でしょう。この「誤差」をもう少し考えるために、別の問題に取り組んでみました。
その問題とは、
地球をぴったり一周するロープを用意しろと言われたら、どれくらいの長さのロープが必要なのか？
です。地球の円周を測る問題です。この問題で、円周率による「誤差」について考えていきたいと思います。今からわたしなりの解き方、考え方を書きますので、お詳しい方がいたら遠慮なくご指摘ください。
では、始めます。wikiで調べたところ、地球の直径（赤道上）は約1万2756㎞だそうです。なので、1万2756㎞としましょう。許される誤差は、わたしが両手を広げた分（180㎝）です。これより長くなったら失敗です（もちろん短くても）。
わたしが今いる地点から右側にロープをおりゃっと投げて、ぐるっぐるっと神の力でロープを地球の表面にまわし、わたしの左側からくるであろうロープをわたしが左手で見事にキャッチ出来たら成功です。ロープが長すぎたら失敗なので、右から投げたロープが左手はおろかわたしの頭を飛び越えて右手の握りに触れたらアウトです。どうでしょう、この説明で伝わりましたか？
計算スタート！
まず、円周率を3.14で計算します。足りないのはわかっているけど、一応はじめの一歩と言うことで。
12756000ｍ×3.14＝40053840ｍ。4万53㎞と830ｍ。なるほど。
4万53㎞と830ｍの長さのロープを用意しても、足りないことは予想できますが、どれくらい足りないかがわかりません。
ですよね？そして、どれくらい足りないかは、次の円周率の次の桁数で計算してみればわかると思うのではないか、というのがわたしの理解です。あってますか？
ということで、次は、円周率3.141で計算します。
12756000×3.141＝40066596ｍ。4万66㎞と596ｍ。円周率を3.14で計算したときの値、40053840ｍより12756ｍ長くなりました。
12756ｍ。これです。この12756ｍをどうとらえたらいいのか…。円周率を3.14で計算した円周40053840ｍより、円周率3.141で計算した円周40066596ｍの方が、本当の数字に12756ｍ近いと言えるのではないか…。
ということは、円周率3.14で計算した円周40053840ｍでは実際の円周より12756ｍ以上足りないと言えるのではないか…。
次は、円周率3.1415。
12756000×3.1415＝40072974ｍ。円周率3.141のときより、6378ｍ長くなりました。これは、本当の値に6378ｍ近づいたということになるのではないですか？そして、本当の値とも最大6378ｍ差と言えるのではないか？
次は、円周率3.14159。ここから先は略して書きます。
円周率3.14159のとき
12756000×3.14159＝40074122.04ｍ。差は1148.04ｍ。先の円周に比べて本当の値に1148ｍ近くなりました。そして、本当の値との差も最大1148ｍ…。
円周率3.141592のとき
12756000×3.141592＝40074147.552ｍ。差は25.512000002ｍ。先の円周に比べて本当の値に25ｍ近くなりました。そして、本当の値との差も最大25ｍ…。25ｍ？右から投げたロープが地球をぐるっと一周して左側約25ｍ以内にロープが！テンションあがってきました。
次、円周率3.1415926のとき
12756000×3.1415926＝40074155.206ｍ。差は7.6539999992ｍ。来た！本当の値に7.6ｍ近くなりさらに、本当の値との差が最大7.6ｍ。ロープはすぐそこ！
次、円周率3.14159265のとき
12756000×3.14159265＝40074155.843ｍ。差は0.637ｍ。63㎝。ここだ！やった！これでつかめるぞ。
先の問題の正解は、
ロープの長さは40074155.843ｍ。誤差は63㎝以内。
どうですか？
ちなみに、もう一つ次に行くとすると3.141592653でして
12756000×3.141592653＝40074155.882ｍ。差は39㎝！
誤差39㎝以下です。どうなの？これ。
